Fonksiyon (Fransızca), İşlev (Türkçe) matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Bir işlem türüdür. Dört işlemden sonra gelir.
Matematiksel tanım
İşlevin matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:
A ve B iki küme olsun. F, kartezyen çarpımının şu özelliği sağlayan bir altkümesi olsun:
Her için, ilişkisini sağlayanbir ve bir tane elemanı vardır. Bu durumda üçlüsüne işlev adı verilir. İki tanım daha: A, işlevinin tanım kümesidir, B ise varış kümesidir.
işlevine f adını verirsek, verilen bir için B'nin y elemanı f(x) olarak gösterilir. Kimi zaman f(x) yerine fx için olur. Ayrıca Ff işlevinin grafiği adı verilir. ilişkisini sağlayan yegane yazıldığı da olur. Demek ki, her kümesine
Fİşlevi matematiksel olarak tanımlamak için "kural"dan söz etmediğimize dikkatinizi çekeriz. Ama F'nin bir küme olması gerekliliği matematikçiler açısından can alıcı noktadır.
Eğer ise üçlüsünün bir fonksiyon olması için F'nin boşküme olması gerektiği açıktır, işte bu üçlüsü boşfonksiyondur.
Örnekler
A ve B iki küme olsun. A'nın her elemanını bir biçimde B'nin bir ve bir tek (gerçel sayılar kümesi), B de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani olsun. İlişkilendirmeyi de şöyle yapalım: A'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirelim. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, örneğin -3 sayısı 9'la, sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte A'dan B'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon f simgesiyle ifade edilir. Verilen örnek için f(x) = x2 elemanıyla ilişkilendirelim. (Koyu renkle yazılmış sözcükler önemlidir; ilerde bunların üstünde duracağız.) Örneğin yazılır.
A yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. f fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, A'dan A'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden A kümesine giden bir fonksiyondur.
A'dan B'ye giden bir fonksiyonu, A kümesinin her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir fonksiyonu, A'nın her elemanını bir biçimde B'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukardaki örnekte, kural, f(x) = x2 olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca A ve B kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile A ve B kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:
Yukarda A = R ve almış ve fonksiyonu f(x) = x2 kuralıyla tanımlamıştık. Şimdi A yerine alırsak ve formülü ve B kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen fonksiyonunu gene f ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. A1'den B'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu örneğin g ile gösterebiliriz.
Bunun gibi, B kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; örneğin ise, kare alma kuralı A'dan B1'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye, f ya da g ile değil, bir başka simgeyle, örneğin h ile gösterilir.
Aynı şekilde A1'den B1'e giden bir fonksiyon, ya da h ile değil, örneğin k ile gösterilmelidir.
Yukarda koyu renkle yazılı sözcükler şu nedenle önemlidir: Bir A kümesinin her elemanını B'nin bir elemanına götürür, yani A'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Örneğin, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi 'den 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da (doğal sayılar kümesi) ise, f(x) = x − 1A'dan B'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü f(0) = − 1'dir ve − 1 sayısı B'de değildir. Öte yandan bu f(x) = x − 1 kuralı, 'den tamsayılar kümesi 'ye giden bir fonksiyon tanımlar. fonksiyonu, kuralı, olmasına karşın
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir fonksiyonu, A'nın her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani A'nın aynı elemanı B'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş örneğini anımsayın.) Örneğin ise, A'nin bir x elemanını x2 = y2 denkleminin y çözümlerine götüremez, çünkü eğer x = 0 değilse, bu denklemin R'de iki değişik y çözümü vardır, nitekim x2 = y2 denkleminin çözümleri y = x ve y = − x'tir. Burada, x'in x'e mi yoksa − x'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir fonksiyonunda, A'nın her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)
Kalkış ve varış kümeleri.
Bir fonksiyonunda, A'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. B'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.
Görüntü
Eğer ise f(x)'e x'in f altında görüntüsü adı verilir. B'nin
altkümesi f(A) olarak gösterilir ve bu kümeye f'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi f(A) yerine B'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)
Örneğin f(x) = x2 kuralıyla tanımlanan f: (-3,5) R fonksiyonunun görüntü kümesi [0,25) aralıkıdır.
İşlev eşitliği
f ve g fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her x için f(x) = g(x) olması gerekmektedir. Bu üç koşuldan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü koşul üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli koşul (3) koşuludur. Ardından (1) koşulu gelir. (2) koşulunun gözden kaçtığı olur.
Durağan (Sabit) işlevler
A ve B iki küme olsun ve olsun. A'nı her elemanını B'nin bu b elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. b değerini alan sabit fonksiyonu cb fonksiyonu, her için cb(x) = b kuralıyla tanımlanır. Not: A ve B kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, cb yerine cb,A,B yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit b fonksiyonu" adı verilir. olarak gösterirsek, o zaman
Bileşke mümkün olduğunda 'dir. Ama 'dir.
Eğer A ya da B'nin tek bir elemanı varsa, o zaman A'dan B'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.
Eğlencelik
Eğer ve ise, A'dan B'ye giden bir fonksiyon yoktur.
Eğer ise, B hangi küme olursa olsun, A'dan B'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boşfonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.
Özdeşlik işlevi
Eğer A bir kümeyse, her için IdA(x) = x kuralıyla tanımlanan Id fonksiyonuna A'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.
Bir işlevin kısıtlanışı
Eğer bir fonksiyonsa ve , A'nın bir altkümesiyse, o zaman f fonksiyonunu A1 altkümesine kısıtlayabiliriz, yani f'nin sadece A1 kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenebiliriz. Bu yeni fonksiyon
olarak yazılır ve bu fonksiyona f'nin A1'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer ise eşitliği geçerlidir.
Varış kümesini değiştirmek
Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirebiliriz: bir fonksiyon olsun. B1, f'nin görüntü kümesi f(A)'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman A tanım kümesini ve f kuralını değiştirmeden yeni bir fonksiyonu elde edebiliriz. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir simgeyle gösterilmez.
İşlevlerin yapıştırılması ya da birleşimi
ve iki fonksiyon olsun. A üzerinde f olan, Bg olan ve 'den V'ye giden bir fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer ise hiç kuşku yok ki olmalı. Eğer ise gene hiç kuşku yok ki olmalı. Ama olduğunda, için f(x) ya da g(x) arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer ise... Bu durumda hangi seçimi yaparsak yapalım istediğimiz iki koşuldan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her için f(x) = g(x), yani f ve g fonksiyonları kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle . O zaman fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz: üzerinde
eğer ise eğer ise. Bu işleve f ve g fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarda gösterildiği gibi bu fonksiyon olarak yazılır.
Örneğin fonksiyonu f(x) = x olarak tanımlanmışsa ve fonksiyonu g(x) = − x olarak tanımlanmışsa, o zaman fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: .
Elbette ve .
Gene doğal olarak diye bir işlev varsa diye bir işlev de vardır ve bu iki işlev birbirine eşittir.
Yukardaki yapıştırmayı yapabilmemiz için f ve g fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer ve iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman A üzerinde f olan, B üzerinde g olan bir fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.
İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli koşullar sağlanıyorsa: bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her göstergeçleri (endisleri) için fi ve fj fonksiyonlarının ve her için eşitliğini sağlayan bir fonksiyonu, kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her
"eğer ise " kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.
Bir İşlevin Altkümeler Kümesinde Neden Olduğu İşlev. bir fonksiyon olsun. A'nın her X altkümesi için, B'nin f(X) altkümesi şöyle tanımlanır:
. Bu f(X) yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü A'nın X altkümesi bal gibi de aynı zamanda A'nın bir elemanı olabilir, o zaman f(X) ifadesinin X'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukardaki gibi B'nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Örneğin, A = {0,{0}} olsun. B = {5,6} olsun. fonksiyonu, f(0) = 5, f({0}) = 6 olarak tanımlansın. Ve son olarak X = {0} olsun. X, hem A'nın bir elemanı hem de bir altkümesidir. X eleman olarak görüldüğünde f(X) = 6 olur ama altküme olarak görüldüğünde f(X) = {5} olur. Belki bu yüzden fonksiyonunun
tanımı yerine,
tanımını yapmak daha yerinde olur.
Eğer P(X), X'in altkümeleri kümesiyse, yukardaki kuralı, P(X)'ten P(Y)'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.
Matematiksel tanım
İşlevin matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:
A ve B iki küme olsun. F, kartezyen çarpımının şu özelliği sağlayan bir altkümesi olsun:
Her için, ilişkisini sağlayanbir ve bir tane elemanı vardır. Bu durumda üçlüsüne işlev adı verilir. İki tanım daha: A, işlevinin tanım kümesidir, B ise varış kümesidir.
işlevine f adını verirsek, verilen bir için B'nin y elemanı f(x) olarak gösterilir. Kimi zaman f(x) yerine fx için olur. Ayrıca Ff işlevinin grafiği adı verilir. ilişkisini sağlayan yegane yazıldığı da olur. Demek ki, her kümesine
Fİşlevi matematiksel olarak tanımlamak için "kural"dan söz etmediğimize dikkatinizi çekeriz. Ama F'nin bir küme olması gerekliliği matematikçiler açısından can alıcı noktadır.
Eğer ise üçlüsünün bir fonksiyon olması için F'nin boşküme olması gerektiği açıktır, işte bu üçlüsü boşfonksiyondur.
Örnekler
A ve B iki küme olsun. A'nın her elemanını bir biçimde B'nin bir ve bir tek (gerçel sayılar kümesi), B de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani olsun. İlişkilendirmeyi de şöyle yapalım: A'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirelim. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, örneğin -3 sayısı 9'la, sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte A'dan B'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon f simgesiyle ifade edilir. Verilen örnek için f(x) = x2 elemanıyla ilişkilendirelim. (Koyu renkle yazılmış sözcükler önemlidir; ilerde bunların üstünde duracağız.) Örneğin yazılır.
A yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. f fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, A'dan A'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden A kümesine giden bir fonksiyondur.
A'dan B'ye giden bir fonksiyonu, A kümesinin her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir fonksiyonu, A'nın her elemanını bir biçimde B'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukardaki örnekte, kural, f(x) = x2 olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca A ve B kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile A ve B kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:
Yukarda A = R ve almış ve fonksiyonu f(x) = x2 kuralıyla tanımlamıştık. Şimdi A yerine alırsak ve formülü ve B kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen fonksiyonunu gene f ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. A1'den B'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu örneğin g ile gösterebiliriz.
Bunun gibi, B kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; örneğin ise, kare alma kuralı A'dan B1'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye, f ya da g ile değil, bir başka simgeyle, örneğin h ile gösterilir.
Aynı şekilde A1'den B1'e giden bir fonksiyon, ya da h ile değil, örneğin k ile gösterilmelidir.
Yukarda koyu renkle yazılı sözcükler şu nedenle önemlidir: Bir A kümesinin her elemanını B'nin bir elemanına götürür, yani A'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Örneğin, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi 'den 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da (doğal sayılar kümesi) ise, f(x) = x − 1A'dan B'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü f(0) = − 1'dir ve − 1 sayısı B'de değildir. Öte yandan bu f(x) = x − 1 kuralı, 'den tamsayılar kümesi 'ye giden bir fonksiyon tanımlar. fonksiyonu, kuralı, olmasına karşın
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir fonksiyonu, A'nın her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani A'nın aynı elemanı B'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş örneğini anımsayın.) Örneğin ise, A'nin bir x elemanını x2 = y2 denkleminin y çözümlerine götüremez, çünkü eğer x = 0 değilse, bu denklemin R'de iki değişik y çözümü vardır, nitekim x2 = y2 denkleminin çözümleri y = x ve y = − x'tir. Burada, x'in x'e mi yoksa − x'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir fonksiyonunda, A'nın her elemanını B'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)
Kalkış ve varış kümeleri.
Bir fonksiyonunda, A'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. B'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.
Görüntü
Eğer ise f(x)'e x'in f altında görüntüsü adı verilir. B'nin
altkümesi f(A) olarak gösterilir ve bu kümeye f'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi f(A) yerine B'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)
Örneğin f(x) = x2 kuralıyla tanımlanan f: (-3,5) R fonksiyonunun görüntü kümesi [0,25) aralıkıdır.
İşlev eşitliği
f ve g fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her x için f(x) = g(x) olması gerekmektedir. Bu üç koşuldan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü koşul üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli koşul (3) koşuludur. Ardından (1) koşulu gelir. (2) koşulunun gözden kaçtığı olur.
Durağan (Sabit) işlevler
A ve B iki küme olsun ve olsun. A'nı her elemanını B'nin bu b elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. b değerini alan sabit fonksiyonu cb fonksiyonu, her için cb(x) = b kuralıyla tanımlanır. Not: A ve B kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, cb yerine cb,A,B yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit b fonksiyonu" adı verilir. olarak gösterirsek, o zaman
Bileşke mümkün olduğunda 'dir. Ama 'dir.
Eğer A ya da B'nin tek bir elemanı varsa, o zaman A'dan B'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.
Eğlencelik
Eğer ve ise, A'dan B'ye giden bir fonksiyon yoktur.
Eğer ise, B hangi küme olursa olsun, A'dan B'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boşfonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.
Özdeşlik işlevi
Eğer A bir kümeyse, her için IdA(x) = x kuralıyla tanımlanan Id fonksiyonuna A'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.
Bir işlevin kısıtlanışı
Eğer bir fonksiyonsa ve , A'nın bir altkümesiyse, o zaman f fonksiyonunu A1 altkümesine kısıtlayabiliriz, yani f'nin sadece A1 kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenebiliriz. Bu yeni fonksiyon
olarak yazılır ve bu fonksiyona f'nin A1'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer ise eşitliği geçerlidir.
Varış kümesini değiştirmek
Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirebiliriz: bir fonksiyon olsun. B1, f'nin görüntü kümesi f(A)'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman A tanım kümesini ve f kuralını değiştirmeden yeni bir fonksiyonu elde edebiliriz. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir simgeyle gösterilmez.
İşlevlerin yapıştırılması ya da birleşimi
ve iki fonksiyon olsun. A üzerinde f olan, Bg olan ve 'den V'ye giden bir fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer ise hiç kuşku yok ki olmalı. Eğer ise gene hiç kuşku yok ki olmalı. Ama olduğunda, için f(x) ya da g(x) arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer ise... Bu durumda hangi seçimi yaparsak yapalım istediğimiz iki koşuldan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her için f(x) = g(x), yani f ve g fonksiyonları kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle . O zaman fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz: üzerinde
eğer ise eğer ise. Bu işleve f ve g fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarda gösterildiği gibi bu fonksiyon olarak yazılır.
Örneğin fonksiyonu f(x) = x olarak tanımlanmışsa ve fonksiyonu g(x) = − x olarak tanımlanmışsa, o zaman fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: .
Elbette ve .
Gene doğal olarak diye bir işlev varsa diye bir işlev de vardır ve bu iki işlev birbirine eşittir.
Yukardaki yapıştırmayı yapabilmemiz için f ve g fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer ve iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman A üzerinde f olan, B üzerinde g olan bir fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.
İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli koşullar sağlanıyorsa: bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her göstergeçleri (endisleri) için fi ve fj fonksiyonlarının ve her için eşitliğini sağlayan bir fonksiyonu, kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her
"eğer ise " kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.
Bir İşlevin Altkümeler Kümesinde Neden Olduğu İşlev. bir fonksiyon olsun. A'nın her X altkümesi için, B'nin f(X) altkümesi şöyle tanımlanır:
. Bu f(X) yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü A'nın X altkümesi bal gibi de aynı zamanda A'nın bir elemanı olabilir, o zaman f(X) ifadesinin X'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukardaki gibi B'nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Örneğin, A = {0,{0}} olsun. B = {5,6} olsun. fonksiyonu, f(0) = 5, f({0}) = 6 olarak tanımlansın. Ve son olarak X = {0} olsun. X, hem A'nın bir elemanı hem de bir altkümesidir. X eleman olarak görüldüğünde f(X) = 6 olur ama altküme olarak görüldüğünde f(X) = {5} olur. Belki bu yüzden fonksiyonunun
tanımı yerine,
tanımını yapmak daha yerinde olur.
Eğer P(X), X'in altkümeleri kümesiyse, yukardaki kuralı, P(X)'ten P(Y)'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.