Dr Leland Townsend
- 6 Eyl 2017
- 16,496 Mesaj
Direnç-kapasitör devresi (RC devresi), veya RC filtresi direnç ve kapsitörlerden oluşan ve gerilim veya akım kaynağı tarafından beslenen bir elektrik devresidir.
Başlangıç
Üç temel, doğrusal (lineer) analog devre elemanı vardır: direnç (R), kapasitör (C) ve bobin (L). Bunların dört önemli kombinasyonu vardır: RC devresi, RL devresi, LC devresi ve RLC devresi olarak bilinirler. Bu devreler, analog elektroniğin en önemli devrelerini oluşturur. Özellikle, pasif filtrelerde çokca kullanılır. Burada RC devresinin hem seri hem de paralel diyagramları gösteriliyor.
Karmaşık empedans
Bir kapasitörün kapasitansı C (farad) ise karmaşık empedansı ZC (ohm)
dir. s açısal frekans gösterir ve genellikle bir karmaşık sayıdır,
Burada
j sanal (imajiner) birimi gösterir:
j2 = − 1
gerçek (reel) kısım ve
sanal kısım, yani sinüzoidal olan açısal frekans (radyan/saniye)tır.
Seri devre
Seri RC devresi
Devrede kapasitör üzerindeki gerilim:
ve direnç üzerindeki gerilim:
dir. Transfer fonksiyonları
Kapasitörün transfer fonksiyonu
ve aynı şekilde direncin transfer fonfsiyonu
dir. Kutuplar ve sıfırlar
Her iki transfer fonksiyonunda da tek kutup vardır.
. Ek olarak, direnç için orijinde sıfır vardır.
Kazanç ve faz açısı
Daha çok bilgi için: Faz açısı
Kazanç iki etkene bağlıdır: Biri
diğeri ise
dir ve faz açıları:
ve
. Bu ifadeler birlikte kullanılabilir ve genellikle fazör çıkışı temsil eder:
. Akım
Seri devrelerde akım her yerde aynıdır:
İmpuls cevabı
Her gerilim için impuls cevabı transfer fonksiyonunun karşılığı olan ters Laplace dönüşümüdür. Bu devre bir darbenin veya delta fonksiyonunun cevabının bir giriş gerilimine bağlı olduğunu gösterir.
Kapasitörün gerilimi için impuls cevabı
Burada u(t) Heaviside adım fonksiyonudur ve
zaman sabitidir.
Aynı şekilde direnç geriliminin impuls cevabı
Burada da δ(t) Dirac delta fonksiyonudur.
Frekans uzayı faktörleri
'a yaklaştıkça:
olur. 'a yaklaştıkça:
olur. . Yukarıdaki denklemin çözümünden şu sonuç elde edilir:
veya
Bu da filtrenin orijinal gücün yarısına düşeceği frekansıdır.
'a yaklaştıkça:
. 'a yaklaştıkça:
Zaman uzayı faktörleri
Zaman uzayını en doğru şekilde elde etmek için Laplace dönüşümünü ifade eden yukarıdaki VC ve VR yapıları kullanılır. Bu etkin dönüşümler e dönüştürülür.Adım girişi yaklaşımı yapılır. (örn. Önce Vin = 0 yapılarak t = 0Vin = V yapılır): bulunur, sonra
ve
.
Kapasitör geriliminin adım-cevabı.
Direnç geriliminin adım-cavabı.
Kısmi kesir açılımları ve ters Laplace dönüşümüü:
. Bu eşitlikler kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri sırasıyla hesaplamak içindir. Kapasitörün dolması sırasındaki eşitlikler; boşalması sırasındaki eşitliklerin tam tersidir. Bu eşitlikler şarj ve akım ilişkisi C=Q/V ve V=IR (Ohm Kanununa bakın) kullanılarak tekrar yazılabilir.
Bu eşitlikler seri RC devrelerinde bir zaman sabitinin olduğunu gösteriyor, usually denoted τ = RC being the time it takes the voltage across the component to either rise (across C) or fall (across R) to within 1 / e of its final value. That is, τ is the time it takes VC to reach V(1 − 1 / e) and VR to reach V(1 / e).
The rate of change is a fractional per τ. Thus, in going from t = Nτ to t = (N + 1)τ, the voltage will have moved about 63.2 % of the way from its level at t = Nτ toward its final value. So C will be charged to about 63.2 % after τ, and essentially fully charged (99.3 %) after about 5τ. When the voltage source is replaced with a short-circuit, with C fully charged, the voltage across C drops exponentially with t from V towards 0. C will be discharged to about 36.8 % after τ, and essentially fully discharged (0.7 %) after about 5τ. Note that the current, I, in the circuit behaves as the voltage across R does, via Ohm's Law.
These results may also be derived by solving the differential equations describing the circuit:
and
. The first equation is solved by using an integrating factor and the second follows easily; the solutions are exactly the same as those obtained via Laplace transforms.
İntegral işlemi
Consider the output across the capacitor at high frequency i.e.
. This means that the capacitor has insufficient time to charge up and so its voltage is very small. Thus the input voltage approximately equals the voltage across the resistor. To see this, consider the expression for I given above:
but note that the frequency condition described means that
so
which is just Ohm's Law. Now,
so
, which is an integrator across the capacitor.
Türev işlemi
Consider the output across the resistor at low frequency i.e.,
. This means that the capacitor has time to charge up until its voltage is almost equal to the source's voltage. Considering the expression for I again, when
, so
Now,
which is a differentiator across the resistor.
More accurate integration and differentiation can be achieved by placing resistors and capacitors as appropriate on the input and feedback loop of operational amplifiers.
Paralel devre
Paralel RC devresi
Paralel RC devresi genellikle seri devreden daha az ilgi görür. Çünkü çıkış gerilimi Vout, giriş gerilimi olan Vin e eşittir. — Sonuç olarak, bu devre bir akım kaynağı tarafından beslenen bir filtre değildir.
Kompleks empedans:
ve
. Bu kapasitör akımının 90° olduğunu gösteriyor. out of phase with the resistor (and source) current. Alternatively, the governing differential equations may be used:
and
. For a step input (which is effectively a 0 Hz or DC signal), the derivative of the input is an impulse at t = 0. Thus, the capacitor reaches full charge very quickly and becomes an open circuit — the well-known DC behaviour of a capacitor.
Başlangıç
Üç temel, doğrusal (lineer) analog devre elemanı vardır: direnç (R), kapasitör (C) ve bobin (L). Bunların dört önemli kombinasyonu vardır: RC devresi, RL devresi, LC devresi ve RLC devresi olarak bilinirler. Bu devreler, analog elektroniğin en önemli devrelerini oluşturur. Özellikle, pasif filtrelerde çokca kullanılır. Burada RC devresinin hem seri hem de paralel diyagramları gösteriliyor.
Karmaşık empedans
Bir kapasitörün kapasitansı C (farad) ise karmaşık empedansı ZC (ohm)
dir. s açısal frekans gösterir ve genellikle bir karmaşık sayıdır,
Burada
j sanal (imajiner) birimi gösterir:
j2 = − 1
gerçek (reel) kısım ve
sanal kısım, yani sinüzoidal olan açısal frekans (radyan/saniye)tır.
Seri devre
Seri RC devresi
Devrede kapasitör üzerindeki gerilim:
ve direnç üzerindeki gerilim:
dir. Transfer fonksiyonları
Kapasitörün transfer fonksiyonu
ve aynı şekilde direncin transfer fonfsiyonu
dir. Kutuplar ve sıfırlar
Her iki transfer fonksiyonunda da tek kutup vardır.
. Ek olarak, direnç için orijinde sıfır vardır.
Kazanç ve faz açısı
Daha çok bilgi için: Faz açısı
Kazanç iki etkene bağlıdır: Biri
diğeri ise
dir ve faz açıları:
ve
. Bu ifadeler birlikte kullanılabilir ve genellikle fazör çıkışı temsil eder:
. Akım
Seri devrelerde akım her yerde aynıdır:
İmpuls cevabı
Her gerilim için impuls cevabı transfer fonksiyonunun karşılığı olan ters Laplace dönüşümüdür. Bu devre bir darbenin veya delta fonksiyonunun cevabının bir giriş gerilimine bağlı olduğunu gösterir.
Kapasitörün gerilimi için impuls cevabı
Burada u(t) Heaviside adım fonksiyonudur ve
zaman sabitidir.
Aynı şekilde direnç geriliminin impuls cevabı
Burada da δ(t) Dirac delta fonksiyonudur.
Frekans uzayı faktörleri
'a yaklaştıkça:
olur. 'a yaklaştıkça:
olur. . Yukarıdaki denklemin çözümünden şu sonuç elde edilir:
veya
Bu da filtrenin orijinal gücün yarısına düşeceği frekansıdır.
'a yaklaştıkça:
. 'a yaklaştıkça:
Zaman uzayı faktörleri
Zaman uzayını en doğru şekilde elde etmek için Laplace dönüşümünü ifade eden yukarıdaki VC ve VR yapıları kullanılır. Bu etkin dönüşümler e dönüştürülür.Adım girişi yaklaşımı yapılır. (örn. Önce Vin = 0 yapılarak t = 0Vin = V yapılır): bulunur, sonra
ve
.
Kapasitör geriliminin adım-cevabı.
Direnç geriliminin adım-cavabı.
Kısmi kesir açılımları ve ters Laplace dönüşümüü:
. Bu eşitlikler kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri sırasıyla hesaplamak içindir. Kapasitörün dolması sırasındaki eşitlikler; boşalması sırasındaki eşitliklerin tam tersidir. Bu eşitlikler şarj ve akım ilişkisi C=Q/V ve V=IR (Ohm Kanununa bakın) kullanılarak tekrar yazılabilir.
Bu eşitlikler seri RC devrelerinde bir zaman sabitinin olduğunu gösteriyor, usually denoted τ = RC being the time it takes the voltage across the component to either rise (across C) or fall (across R) to within 1 / e of its final value. That is, τ is the time it takes VC to reach V(1 − 1 / e) and VR to reach V(1 / e).
The rate of change is a fractional per τ. Thus, in going from t = Nτ to t = (N + 1)τ, the voltage will have moved about 63.2 % of the way from its level at t = Nτ toward its final value. So C will be charged to about 63.2 % after τ, and essentially fully charged (99.3 %) after about 5τ. When the voltage source is replaced with a short-circuit, with C fully charged, the voltage across C drops exponentially with t from V towards 0. C will be discharged to about 36.8 % after τ, and essentially fully discharged (0.7 %) after about 5τ. Note that the current, I, in the circuit behaves as the voltage across R does, via Ohm's Law.
These results may also be derived by solving the differential equations describing the circuit:
and
. The first equation is solved by using an integrating factor and the second follows easily; the solutions are exactly the same as those obtained via Laplace transforms.
İntegral işlemi
Consider the output across the capacitor at high frequency i.e.
. This means that the capacitor has insufficient time to charge up and so its voltage is very small. Thus the input voltage approximately equals the voltage across the resistor. To see this, consider the expression for I given above:
but note that the frequency condition described means that
so
which is just Ohm's Law. Now,
so
, which is an integrator across the capacitor.
Türev işlemi
Consider the output across the resistor at low frequency i.e.,
. This means that the capacitor has time to charge up until its voltage is almost equal to the source's voltage. Considering the expression for I again, when
, so
Now,
which is a differentiator across the resistor.
More accurate integration and differentiation can be achieved by placing resistors and capacitors as appropriate on the input and feedback loop of operational amplifiers.
Paralel devre
Paralel RC devresi
Paralel RC devresi genellikle seri devreden daha az ilgi görür. Çünkü çıkış gerilimi Vout, giriş gerilimi olan Vin e eşittir. — Sonuç olarak, bu devre bir akım kaynağı tarafından beslenen bir filtre değildir.
Kompleks empedans:
ve
. Bu kapasitör akımının 90° olduğunu gösteriyor. out of phase with the resistor (and source) current. Alternatively, the governing differential equations may be used:
and
. For a step input (which is effectively a 0 Hz or DC signal), the derivative of the input is an impulse at t = 0. Thus, the capacitor reaches full charge very quickly and becomes an open circuit — the well-known DC behaviour of a capacitor.